Espérance d'une variable aléatoire

Définition 

Soit   `X`  une variable aléatoire sur l'univers  `\Omega`  prenant les valeurs  `x_1,x_2, ...,x_n`  de probabilités  `p_1, p_2,...,p_n` . L'espérance de la variable aléatoire  `X`  est le nombre réel, noté  \(E(X)\) , défini par  \(E(X)=x_1p_1+x_2p_2+...+x_np_n\) .

Remarques  

• L'espérance est la moyenne de la série des  `x_i` pondérés par les probabilités `p_i` .
  
• Le mot « espérance » provient du langage des jeux. En effet, dans le cas où la variable aléatoire  `X` désigne le gain,  `E(X)`  est alors le gain moyen qu'on peut espérer si on joue un très grand nombre de parties.
  
• En théorie des jeux, on dit qu'un jeu est équitable lorsque l’espérance de la variable aléatoire représentant le gain est nulle. Si  `\E(X)<0` , on dit que le jeu est défavorable et si  `E(X)>0` , le jeu est dit favorable.
  

Propriété  Loi des grands nombres

Lorsqu'on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire associée à la variable aléatoire   `X` , la moyenne des valeurs prises par  `X`  s'approche de l'espérance de la variable aléatoire   `X` .